Publié le dimanche 26 juillet 2020
Modifié le lundi 12 février 2024 à 16h08 2 min
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Démontrer que \(\sin^2(x)+\)\(\cos^2(x)=1\)
Remarque : la notation \(\sin^2(x)\) signifie \(\sin(x)^2\), et de même \(\cos^2(x)\) est équivalent à \(\cos(x)^2\).
Soit le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). \([BC]\) est alors l'hypoténuse.Définition : les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente s'expriment pour un angle en fonction des longueur de l'hypoténuse, du côté adjacent et du côté opposé.
\(\sin(x) = \dfrac{opposé}{hypoténuse} \)
\(\cos(x) = \dfrac{adjacent}{hypoténuse} \)
\(\tan(x) = \dfrac{opposé} {adjacent} \)
Soit \(x\) la valeur de l'angle \(\widehat{ABC}\). \(\sin(x) = \dfrac{opposé}{hypoténuse} \)
\(\cos(x) = \dfrac{adjacent}{hypoténuse} \)
\(\tan(x) = \dfrac{opposé} {adjacent} \)
Par rapport à \(\widehat{ABC}\), \([BC]\) est l'hypoténuse, \([AB]\) le côté adjacent et \([AC]\) le côté opposé.
Donc \(\sin(x) = \frac{AC}{BC}\) et \(\cos(x) =\frac{AB}{BC}\).
\(\Rightarrow \sin^2(x) = (\dfrac{AC} {BC}) ^2=\dfrac{AC^2} {BC^2} \)
\(\Rightarrow \cos^2(x) =(\dfrac{AB}{BC})^2=\dfrac{AB^2}{BC^2}\)
D'après le théorème de Pythagore, on a :
\(AB^2+AC^2=BC^2\).
On divise par \(BC^2\) dans les deux termes :\(AB^2+AC^2=BC^2\).
\(\dfrac{AB^2}{BC^2}+ \dfrac{AC^2} {BC^2} =\dfrac{BC^2}{BC^2}\)
\(\Rightarrow \dfrac{AB^2}{BC^2} + \dfrac{AC^2}{BC^2}=1\)
Or \(\dfrac{AB^2}{BC^2}=\sin^2(x)\) et \(\dfrac{AC^2}{BC^2}=\cos^2(x)\).
On peut donc réécrire l'égalité avec \(\sin^2(x)\) et \(\cos^2(x)\).
\(\Rightarrow \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\)
On a donc démontré que \(\sin^2(x) +\cos^2(x)\) vaut \(1\).
Remarque : Cette égalité permet d'exprimer \(\sin(x)\) en fonction de \(\cos(x)\) et inversement :
\(\sin(x) =\sqrt{1-\cos(x)}\)
\(\cos(x) =\sqrt{1-\sin(x)}\)
Ces formules ne sont exactes que dans la trigonométrie dans un triangle rectangle, pour des sinus ou cosinus de réels, les valeurs sont parfois négatives, il faut alors se référer au point-image de \(x\) sur le cercle trigonométrique pour déterminer le signe du résultat.
\(\sin(x) =\sqrt{1-\cos(x)}\)
\(\cos(x) =\sqrt{1-\sin(x)}\)
Ces formules ne sont exactes que dans la trigonométrie dans un triangle rectangle, pour des sinus ou cosinus de réels, les valeurs sont parfois négatives, il faut alors se référer au point-image de \(x\) sur le cercle trigonométrique pour déterminer le signe du résultat.
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